versie: 13 juli 2002

Het verkeer

is een verschijnsel dat ons allemaal aangaat en het heeft een aantal eigenschappen die we niet zo leuk vinden. Een van die nare eigenschappen is natuurlijk het fileprobleem. Weliicht is het voor u een openbaring om te ontdekken dat daar met een klein beetje wiskundig inzicht een paar interessante zaken in zijn te ontdekken.

Laten we dus maar eens proberen om wat te gaan rekenen aan het verkeer.

Als u niet zo veel zin hebt in een wiskundige verhandeling, kunt u ook gewoon nu meteen doorgaan naar de oplossing of naar de conclusies die u waarschijnlijk toch wel zullen aanspreken!

We beginnen met enkele vereenvoudigingen, die in de praktijk natuurlijk niet opgaan. We gaan rekenen aan een straat met slechts één rijbaan, waarop alle auto's dezelfde eigen lengte hebben en met dezelfde snelheid op dezelfde onderlinge afstand rijden.

We definiëren de volgende grootheden:

grootheid: omschrijving:

L de eigen lengte van de auto's;

d de onderlinge afstand tussen de auto's;

v de snelheid waarmee wordt gereden;

a de minimaal benodigde remvertraging;

D de verkeersdichtheid, het aantal auto's per afstandseenheid;

Q de verkeersintensiteit, het aantal auto's dat per tijdseenheid een bepaalde punt van de weg passeert ("stroomsterkte").

Hiervoor gelden nu enkele eenvoudige rekenregels:

D = 1
L + d [1]

Q = D * v [2]

Verder moet elke auto natuurlijk tot zijn voorganger een afstand houden die overeenkomt met de snelheid. We hanteren hiervoor de remweg die nodig is voor een auto die remt met de (wettelijk) minimaal vereiste remvertraging en als we uitgaan van een eenparig afremmende beweging geldt hiervoor:

d = v²
2 * a [3]

We zijn nu geïnteresseerd in Q(D), d.w.z. een formule die beschrijft hoe de verkeersintensiteit afhangt van de verkeersdichtheid (in de veronderstelling dat alle automobilisten precies de voorgeschreven afstand houden).
Daarvoor gaan we de v uit vergelijking [2] uitdrukken in D:

Stap 1: Herschrijf vergelijking [3]:

v² = 2 * a * d [4]

Stap 2: Uit vergelijking [1] kunnen we d herleiden:

d = 1 - L * D
D [5]

Stap 3: combineer [4] en [5]:

v² = 2 * a * (1 - L * D)
D [6]

Hieruit kan v worden herleid en in vergelijking [2] gesubstitueerd, maar omdat er v² staat is het handiger om vergelijking [2] te kwadrateren en daarin v² te substitueren:

Q² = D² * v² [7]

Substitutie van [6] in [7] levert:

Q² = D² * 2 * a * (1 - L * D)
D [8]

Na vereenvoudiging levert dit de volgende

oplossing: [terug naar het begin]
[verder naar de conclusies]

Q² = 2 * a * D (1 - L * D) [9]

Hierin geldt dus zoals reeds was gedefinieerd:

Q = verkeersintensiteit (aantal auto's dat in een bepaalde tijd een bepaald punt passeert)
D = verkeersdichtheid (aantal auto's dat zich op een bepaald weggedeelte bevindt)
L = eigen lengte van de auto's
a = de wettelijk voorgeschreven minimale remvertraging

Als we de volgende waardes aannemen voor L en a:

Zolang het verkeer zich in de linkerhelft van deze grafiek bevindt, is er eigenlijk niets aan de hand: als er auto's bijkomen op de weg wordt de intensiteit ook groter. Rechts van het midden komt het verkeer echter in de problemen: het toevoegen van auto's leidt tot een vermindering van de verkeersstroom: het verkeer gaat dus vastlopen (filevorming), met als uiterste situatie de reeds genoemde traffic jam.

Het leuke is dat de praktijk redelijk overeenstemt met dit bijzonder simpele rekenmodel. De rechterhelft van de grafiek komt bij praktijkmetingen echter niet zo heel erg strak uit de verf. Dat komt voor een groot deel doordat automobilisten niet allemaal netjes de bij hun snelheid behorende afstand houden en met name in die drukke situatie is er veel variatie in de onderlinge afstand. Ons rekenmodel is dan dus niet meer goed van toepassing omdat de gemaakte veronderstellingen teveel afwijken van de werkelijkheid. Het gevolg is dat de strakke lijn in die rechterhelft van de grafiek wordt uitgesmeerd tot een wat bredere "wazige" band, maar in zijn algemeenheid blijft het daar wel zo dat bij toenemende verkeersdrukte de intensiteit afneemt en uiteindelijk nul wordt.

Hieruit kunnen we een paar interessante conclusies trekken: [terug naar het begin]
[terug naar de oplossing]

Er is een maximale verkeersintensiteit en dat is dus de maximumcapaciteit van de betreffende rijbaan!
Dit betekent dat er bij een (te) groot verkeersaanbod (dus als het aanbod groter is dan deze capaciteit) ALTIJD vanzelf een file zal ontstaan zonder dat daarvoor "aan de voorkant" iets bijzonders hoeft te gebeuren. De file wordt dus NIET veroorzaakt door zich slecht gedragende individuen, maar uitsluitend door het te grote collectieve verkeersaanbod.
Bij een bepaalde verkeersintensiteit bestaan (afgezien van dit maximum) telkens twee verschillende dichtheden en dus twee verschillende rijsnelheden. Voor de individuele automobilist is dat een belangrijk verschil omdat zijn eigen rijsnelheid natuurlijk direct zijn reistijd beïnvloedt, maar de verkeersdoorstroming is in beide gevallen hetzelfde! Let maar eens op als u de volgende keer in een file zit: het ene moment rijdt u 10 to 20 km/h, dan ineens gaat het 50 tot 70 km/h, vervolgens moet u weer plotseling afremmen, even later kunt u weer gas geven en zo gaat dat maar door. Het verkeer switcht dan op en neer tussen deze beide helften van de grafiek terwijl de doorstroming steeds gelijk is!
Het feit dat er voor elke rijbaan (en dus voor de hele weg) een maximumcapaciteit bestaat heeft nog een belangrijk gevolg: het zal duidelijk zijn dat een file aan de voorkant niet sneller kan oplossen dan deze maximumcapaciteit. Bij maximale verkeersdrukte zal er ook achter een file een verkeersaanbod zijn dat deze maximumcapaciteit benut, zodat de file aan de achterkant dus net zo snel aangroeit als dat-ie aan de voorkant kan oplossen! Per saldo zal de file dan dus gewoon niet oplossen totdat het verkeersaanbod aan de achterzijde van de file vermindert!
Bij grote drukte zal een eenmaal ontstane file dus gewoon heel lang kunnen blijven bestaan terwijl de oorzaak van de file al lang is opgeheven. Er kan bijvoorbeeld iemand gewoon even schrikken als er aan de andere kant van de vangrail een aanrijding plaatsvindt. Een schrikkende automobilist trapt van nature op de rem en door dit korte moment van vertraging kan al een file ontstaan die vervolgens doodgewoon niet meer zal oplossen zolang het druk blijft. Het blijven bestaan van die file komt dus helemaal niet door "kijkers naar het ongeluk op de andere baan", maar het is een simpel gevolg van het totale verkeersaanbod enkele kilometers achter de file in relatie tot de maximumcapaciteit van de weg!
Het ware te wensen dat politici die zichzelf als verkeers"deskundige" bestempelen eens wat meer op een wetenschappelijke manier naar het verkeer zouden kijken en zich zouden verdiepen in de elementaire beginselen van de stromingsleer in plaats van de problematiek af te schuiven op het vermeende slechte weggedrag van individuele automobilisten die ieder voor zich slechts een "druppeltje in een grote rivier" zijn en er nauwelijks invloed op kunnen uitoefenen, hoe netjes ze zich ook zouden gedragen.

De homepage van Henk Reints