Combinatie van sinusvormige trillingen (in fase)
Als je twee tonen van gelijke geluidssterkte maar verschillende frequentie combineert,
ontstaat een nieuwe toon met de gemiddelde frequentie, maar de sterkte ervan varieert met de verschilfrequentie.
| Voor de exactelingen: |
| sin α + sin β = 2 sin |
|
sin |
|
|
en die |
|
|
geeft natuurlijk de halve verschilfrequentie, maar het is een factor die feitelijk als amplitude fungeert.
De geluidssterkte hangt af van het kwadraat van de amplitude (vermogen), wat een effectieve frequentieverdubbeling oplevert.
|
|
Als voorbeeld: 2 sinussen met een frequentieverschil van 2% (onder) en hun som (boven):
Daar waar de sinussen in de pas lopen is de som maximaal, waar ze tegen elkaar in gaan is die minimaal (etentje?).
Deze variatie van de geluidssterkte heet zweving.
Als die snel genoeg gaat wordt het een toon op zichzelf, de zogeheten verschiltoon.
Die klinkt niet als een sinus maar een beetje als een bromtoon.
In de grafieken hieronder geldt telkens:
horizontale as = tijd,
bovenste grafiek = resulterende trilling (het totaal dus),
onderste = afzonderlijke sinussen.
Grote drieklank
(priem,
grote terts,
kwint)
1 cyclus (duurt 4 periodes van de priem):
Duidelijk is dat de afzonderlijke sinussen reeds na 4 priemperiodes weer alle drie precies in de pas lopen.
Dat maakt het lekker gemakkelijk voor ons brein en dat noemen we dan mooi.
Halverwege gaat de terts precies tegen de priem en de kwint in.
In de (bovenste) totaaltrilling is het aantal toppen gelijk aan 6
en dat is 3⁄2 × de 4 priemperiodes,
dus een kwint.
De hoofdfrequentie van de grote drieklank is dus níét de priem, maar de kwint!
Je hoort hem het duidelijkst. Daarom heeft de kwint als functionele naam: dominant.
10 cycli:
In de totaaltrilling zie je een fluctuatie, die zijn maximum telkens heeft als de 3 sinussen precies in de pas lopen.
Feitelijk is dat een zweving.
Omdat het telkens 4 priemperiodes betreft is die zweving 2 octaven lager dan de priem
en dat is precies het verschil tussen terts en priem
alsmede tussen kwint en terts.
Doordat hij dus precies in de pas loopt is het geen storende zweving,
maar met een goed gehoor hoor je hem te horen, hoor!
Alle verschiltonen zijn 1 of 2 octaven lager dan de priem, die hierdoor dus eigenlijk versterkt wordt.
Kleine drieklank
(priem,
kleine terts,
kwint)
1 cyclus (duurt 10 periodes van de priem):
Nu lopen de afzonderlijke sinussen pas na 10 priemperiodes weer alle drie precies in de pas
en dat maakt de kleine drieklank moeilijker dan de de grote.
Nu gaat halverwege de cyclus de kwint precies tegen de andere in.
In de totaaltrilling is het aantal toppen nu gelijk aan 12
en dat is 6⁄5 × de 10 priemperiodes,
dus een kleine terts.
5 cycli:
De verschiltonen f, a' en c' vormen nu een z.g. wijde ligging van de grote drieklank op f!
Daardoor is de kleine drieklank ook mooi te noemen, hoewel minder mooi dan de grote. Hij is duidelijk ingewikkelder.
Dominant-septiemakkoord
(priem,
kleine terts,
kwint,
kleine septiem)
De bekendste vierklank moet er voor de volledigheid natuurlijk ook bij.
Er zijn echter verschillende
kleine septiemen:
- de "eigenlijke" septiem van precies een octaaf minus
een grote secunde heeft een verhouding van 16 : 9,
leidend tot een cyclus van 36 priemperiodes;
- de "gewone" septiem met een verhouding van 9 : 5 is nipt groter
dan de "eigenlijke" (en wel een zogeheten didymisch komma
(met verhouding 81 : 80 ≳ 1⁄9 toon)
en hij geeft een cylus van 20 priemperiodes, wat voor ons brein uiteraard eenvoudiger is
dan 36 (die verhouding is immers ook simpeler);
- de harmonische septiem met een verhouding van 7 : 4 is juist kleiner dan de "eigenlijke"
(met verhouding 63 : 64 ≳ 1⁄7 toon),
maar hij geeft een cyclus van slechts 4 priemperiodes, wat natuurlijk de reden is waarom hij
harmonisch heet − hij past immers precies in de grote drieklank!
Door die 7 in de 7 : 4 past de harmonische septiem echter totaal niet
in de standaardtoonladder en hoewel hij harmonisch heet is ie dus eigenlijk doodgewoon vals,
maar het is dus wel de eenvoudigste septiem en daarom intoneren we er gemakkelijk op.
|
Een en ander betekent dat de
kleine septiem een buitenbeentje is dat probeert de harmonische dans te ontspringen...
Allereerst 1 complete cyclus van het dominant-septiemakkoord
met de "gewone" septiem van 9 : 5.
Eén volledige cyclus duurt dus 20 priemperiodes:
De cycluslengte van 20 maakt dit tot een "moeilijk" akkoord.
Die ene verschiltoon ongeveer midden tussen b♭' en b' maakt dit akkoord natuurlijk tamelijk dissonant.
En dan wat ik maar noem het harmonisch dominant-septiemakkoord
met dus de harmonische septiem van 7 : 4.
Eén volledige cyclus duurt slechts 4 priemperiodes:
Duidelijk is dat de afzonderlijke sinussen net als bij de grote drieklank reeds na 4 priemperiodes weer precies in de pas lopen.
Halverwege gaan nu zowel de terts als de septiem
precies tegen de priem en de kwint in.
In de (bovenste) totaaltrilling is het totaal aantal toppen nu gelijk aan 7,
wat dus 7⁄4 × de getoonde
(hé, leuk woord in deze context!)
4 priemperiodes is en daarmee domineert de septiem dit akkoord.
Vandaar de naam: dominant-septiem. Je hoort hem heel duidelijk.
De hoofdfrequentie is dus wederom níét de priem, maar deze keer de septiem.
Als we de niptste twee toppen verwaarlozen houden we er 5 over en dat brengt ons via 5 : 4 bij de terts,
die in dit akkoord dus als het ware een secundair dominante rol speelt.
10 cycli van het harmonisch dominant-septiemakkoord:
Nu zijn alle verschiltonen keurig in harmonie met de priem!
Maar ja, die γ hè? Pakweg een kwarttoon benevens de toonladder!
Op een goed gestemde piano kun je daar wel naar eh, fluiten...
Het dominant-septiemakkoord "móét" wel oplossen
naar een grote of kleine drieklank (dat zijn de enige consonante akkoorden).
Het wordt hoofdzakelijk gebruikt op de kwint van de eigenlijke toonsoort, als opmaat naar de drieklank in die toonsoort.
Behalve natuurlijk als een wollige trol een sol met een mol schrijft en als een kol
met de bol op hol zo dol als een tol vol lol met een grol uit z'n rol rolt, de drol...
Skol!
En dan nu de grote verwarring: zoals hierboven al bij de grote drieklank is genoemd heeft de kwint als functionele naam: dominant.
En óp die dominant bouwen we gewoonlijk
het dominant-septiemakkoord, dat zo heet omdat ín dát akkoord de septiem domineert.
Dat zijn twee verschillende duidingen van het begrip dominant!
